けんろん!〜休日カフェタイム〜 第2話演習!
11/21 に、けんろん!〜休日カフェタイム〜 第2話演習! に参加してきました。
- USTREAM
- 本
Basic Category Theory for Computer Scientists (Foundations of Computing)
- 作者: Benjamin C. Pierce
- 出版社/メーカー: The MIT Press
- 発売日: 1991/08/07
- メディア: ペーパーバック
- 購入: 3人 クリック: 57回
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Google Books で見れる
自分は今回(第2話)からの参加。
圏論はちょっと触ってたり、前日に第1話を ust で追っかけたりしたので、演習からだったけど楽しめた。
関数合成のまるが見つからなかったので . で。半群の演算を . から * に。
- 1.1.8 Example
- 0 圏
- 対象、射のない圏
- object
- なし
- arrow
- なし
- dom, cod
- 射がないので問題ない
- composition
- 射がないので問題ない
- id
- 対象がないので問題ない
- 0 圏
- 1.1.11 Example
- 3 圏
- object
- A, B, C
- arrow:dom->cod
- f:A->B, g:B->C, h:A->C, idA:A->A, idB:B->B, idC: C->C
- composition (.)
- g . f = h, f . idA = f, idB . f, g . idB = g, idC . g = g, h . idA = h, idC . h = h, idA . idA = idA, idB . idB = idB, idC . idC = idC
- composition associativity ( (a . b) . c = a . (b . c) )
- 定義できる全てのパターンで場合分け or
- a, b, c のどれかは id なので、3パターンで場合分け
- id
- A:idA, B:idB, C:idC
- object
- 最小の3圏
- object
- A, B, C
- arrow:dom->cod
- idA:A->A, idB:B->B, idC: C->C
- composition
- forall f in arrow, f . f = f
- composition associativity
- (f . f) . f = f . f = f
- f . (f . f) = f . f = f
- id
- A:idA, B:idB, C:idC
- object
- 3 圏
- 1.1.9 Example
- 1 圏 (最小)
- object
- A
- arrow:dom->cod
- idA:A->A
- composition
- idA . idA = idA
- composition associativity
- (idA . idA) . idA = idA . idA = idA
- idA . (idA . idA) = idA . idA = idA
- id
- A:idA
- object
- 1 圏 (最小)
- 1.1.10 Example
- 2 圏
- object
- A, B
- arrow:dom->cod
- f:A->B, idA:A->A, idB:B->B
- composition
- f . idA = f, idB . f = f, idA . idA = idA, idB . idB = idB
- composition associativity
- 定義できる全てのパターンで場合分け or
- 全て id が、どれか1つが f の、4パターンで場合分け
- id
- A:idA, B:idB
- object
- 最小の2圏
- object
- A, B
- arrow:dom->cod
- idA:A->A, idB:B->B
- composition
- forall f in arrow, f . f = f
- composition associativity
- (f . f) . f = f . f = f
- f . (f . f) = f . f = f
- id
- A:idA, B:idB
- object
- 2 圏
- モノイド・群
- ホモの定義
- f:M->M' がモノイド (M, *, e) と (M', *', e') の間の準同形写像 (monoid homomorphism) であるとは
- f(e) = e'
- forall x, y in M, f(x * y) = f(x) *' f(y)
- f:M->M' がモノイド (M, *, e) と (M', *', e') の間の準同形写像 (monoid homomorphism) であるとは
- 1.1.6 Example
- モノイド (Monoid : 半群) の圏 Mon
- もん圏
- object
- モノイド
- arrow:dom->cod
- モノイド間の準同形写像 f:M->M'
- composition
- (g . f)(x) = g(f(x)) (x in dom(f))
- (g . f) は monoid homomorphism
- (M, *, e) -f-> (M', *', e') -g-> (M'', *'', e'') として、
- (g . f)(e) = g(f(e)) = g(e') = e''
- (g . f)(x * y) = g(f(x * y)) = g(f(x) *' f(y)) = g(f(x)) *'' g(f(y)) = (g . f)(x) *'' (g . f)(y)
- composition associativity
- (h . (g . f))(x) = h( (g . f)(x) ) = h(g(f(x)))
- ( (h . g) . f )(x) = (h . g)(f(x)) = h(g(f(x)))
- id
- forall o in object, exists id in arrow, forall x in Mo, id(x) = x
- id(e) = e, id(x * y) = x * y
- (id . f)(x) = id(f(x)) = f(x), (f . id)(x) = f(id(x)) = f(x)
- forall o in object, exists id in arrow, forall x in Mo, id(x) = x
- モノイド (Monoid : 半群) の圏 Mon