けんろん!〜休日カフェタイム〜 第2話演習!

11/21 に、けんろん!〜休日カフェタイム〜 第2話演習! に参加してきました。

Basic Category Theory for Computer Scientists (Foundations of Computing)

Basic Category Theory for Computer Scientists (Foundations of Computing)


Google Books で見れる


自分は今回(第2話)からの参加。
圏論はちょっと触ってたり、前日に第1話を ust で追っかけたりしたので、演習からだったけど楽しめた。


関数合成のまるが見つからなかったので . で。半群の演算を . から * に。

  • 1.1.8 Example
    • 0 圏
      • 対象、射のない圏
      • object
        • なし
      • arrow
        • なし
      • dom, cod
        • 射がないので問題ない
      • composition
        • 射がないので問題ない
      • id
        • 対象がないので問題ない
  • 1.1.11 Example
    • 3 圏
      • object
        • A, B, C
      • arrow:dom->cod
        • f:A->B, g:B->C, h:A->C, idA:A->A, idB:B->B, idC: C->C
      • composition (.)
        • g . f = h, f . idA = f, idB . f, g . idB = g, idC . g = g, h . idA = h, idC . h = h, idA . idA = idA, idB . idB = idB, idC . idC = idC
      • composition associativity ( (a . b) . c = a . (b . c) )
        • 定義できる全てのパターンで場合分け or
        • a, b, c のどれかは id なので、3パターンで場合分け
      • id
        • A:idA, B:idB, C:idC
    • 最小の3圏
      • object
        • A, B, C
      • arrow:dom->cod
        • idA:A->A, idB:B->B, idC: C->C
      • composition
        • forall f in arrow, f . f = f
      • composition associativity
        • (f . f) . f = f . f = f
        • f . (f . f) = f . f = f
      • id
        • A:idA, B:idB, C:idC
  • 1.1.9 Example
    • 1 圏 (最小)
      • object
        • A
      • arrow:dom->cod
        • idA:A->A
      • composition
        • idA . idA = idA
      • composition associativity
        • (idA . idA) . idA = idA . idA = idA
        • idA . (idA . idA) = idA . idA = idA
      • id
        • A:idA
  • 1.1.10 Example
    • 2 圏
      • object
        • A, B
      • arrow:dom->cod
        • f:A->B, idA:A->A, idB:B->B
      • composition
        • f . idA = f, idB . f = f, idA . idA = idA, idB . idB = idB
      • composition associativity
        • 定義できる全てのパターンで場合分け or
        • 全て id が、どれか1つが f の、4パターンで場合分け
      • id
        • A:idA, B:idB
    • 最小の2圏
      • object
        • A, B
      • arrow:dom->cod
        • idA:A->A, idB:B->B
      • composition
        • forall f in arrow, f . f = f
      • composition associativity
        • (f . f) . f = f . f = f
        • f . (f . f) = f . f = f
      • id
        • A:idA, B:idB
  • モノイド・群
    • モノイド (Monoid : 半群) (M, *) (または (M, *, e))
      • exists e (単位元) in M, forall x in M, e * x = x, x * e = x
      • forall a, b, c in M, (a * b) * b = a * (b * c)
    • 群 (Group)
      • 半群の条件に加え、forall x in M, exists x' in M, x * x' = e, x' * x = e
  • ホモの定義
    • f:M->M' がモノイド (M, *, e) と (M', *', e') の間の準同形写像 (monoid homomorphism) であるとは
      • f(e) = e'
      • forall x, y in M, f(x * y) = f(x) *' f(y)
  • 1.1.6 Example
    • モノイド (Monoid : 半群) の圏 Mon
      • もん圏
      • object
        • モノイド
      • arrow:dom->cod
        • モノイド間の準同形写像 f:M->M'
      • composition
        • (g . f)(x) = g(f(x)) (x in dom(f))
        • (g . f) は monoid homomorphism
          • (M, *, e) -f-> (M', *', e') -g-> (M'', *'', e'') として、
          • (g . f)(e) = g(f(e)) = g(e') = e''
          • (g . f)(x * y) = g(f(x * y)) = g(f(x) *' f(y)) = g(f(x)) *'' g(f(y)) = (g . f)(x) *'' (g . f)(y)
      • composition associativity
        • (h . (g . f))(x) = h( (g . f)(x) ) = h(g(f(x)))
        • ( (h . g) . f )(x) = (h . g)(f(x)) = h(g(f(x)))
      • id
        • forall o in object, exists id in arrow, forall x in Mo, id(x) = x
          • id(e) = e, id(x * y) = x * y
          • (id . f)(x) = id(f(x)) = f(x), (f . id)(x) = f(id(x)) = f(x)
    • 半群群・環・体・可換や圏など、数字の世界を抽象化して、規則を満たせばどんなものでも便利なテクニックが使えるようにする
    • 大きすぎる自由は不自由
    • 次回は 1.1.7 Ω-Algebra から